まず、コンパクトHausdorff空間とその間の連続写像の圏について基本的な事柄をまとめよ。 * 圏論的な単射と全射の記述と証明 * 直積、直和の記述と証明 * pullbackとpushoutの記述と証明と例 * 部分対象、商対象の記述と証明と例 * 射影的対象、単射的対象の記述と例、「射影的対象を十分に持つか」「単射的対象を十分に持つか」とその証明 * 完全不連結コンパクトHausdorff空間の圏論的特徴付けとその証明 次に可換C*環の圏の定義とコンパクトHausdorff空間の圏論的双対性の記述と証明を解説せよ。さらに上のリストの可換C*環での対応物。 完全不連結コンパクトHausdorff空間に対応するC*環とBool環の対応。 以上について可能な限り詳しく解説せよ。 self-conrainedに定義達や証明達を省略せずに説明せよ。 解説は長くなっても構わない。 解説はHTMLでアウトプットせよ。 LaTeX方式の数式はMathJaxでレンダリングせよ。 --- すべての連結成分が一点になる位相空間は完全不連結であるという。完全不連結位相空間は自動的にT₁空間になる。しかし、T₂ (Hausdorff)になるとは限らない。 2つのℝの0以外の部分を貼り合わせてできる「2つの原点を持つ直線」はHausdorffでない位相空間の例として有名。「2つの原点を持つ直線」はHausdorffでない「多様体」の例になっている。「2つの原点を持つ直線」の作り方はHausdorffではない完全不連結コンパクト空間の構成でも使える。無限離散空間Dの一点コンパクト化D∪{∞}は完全不連結コンパクトHausdorff空間。2つのD∪{∞}のDを貼り合わせてできる「2つの無限遠点を持つ完全不連結コンパクト空間」はHausdorffではない。 任意の開集合の閉包が開集合になる位相空間は極値(extremally)不連結であるという。 極値不連結コンパクトHausdorff空間 ⇒ 完全不連結コンパクトHausdorff空間 ⇒ コンパクトHausdorff空間 である。 コンパクトHausdorff空間の圏におけるepiとmonoはそれぞれ連続全射と連続単射になる。コンパクトHausdorff空間の間の連続全射は位相空間の商写像になっており、連続単射はその像との同相写像を与える。 コンパクトHausdorff空間の圏において射影的対象であることと極値不連結であることは同値である(Gleason 1958)。 離散空間のStone-Čechコンパクト化は極値不連結コンパクトHausdorff空間であることから、コンパクトHausdorff空間の圏は十分に射影的対象を持つことが分かる。 区間[0,1]はコンパクトHausdorff空間の圏における単射的対象であることから、コンパクトHausdorff空間の圏は十分に単射的対象を持つことが分かる。 任意の完全不連結コンパクトHausdorff空間は有限離散空間達の(コンパクトHausdorff空間の圏における)射影極限になっている。 可換C*環A, Bのあいだの環準同型𝜙:A→Aが𝜙(f*)=𝜙(f)*を満たすとき、𝜙はC*環の準同型であるという。 コンパクトHausdorff空間Xに対してX上の複素数値連続関数全体のなす可換C*環C(X)を対応させる反変関手は、コンパクトHausdorff空間の圏と可換C*環の圏の反変同値を与える(Gelfand-Naimark双対性)。逆は可換C*環Aの Gelfand-Naimark双対性より、完全不連結コンパクトHausdorff空間に対応する可換C*環達と有限離散空間に対応する有限次元可換C*環ℂⁿ達の帰納的極限達は一致する。 完全不連結コンパクトHausdorff空間Xには、そのclopen集合全体の集合Bool(X)に乗法をUV=U∩Vで加法をU⊕V=(U∪V)\(U∩V)で定めると、Bool(X)はBool環(すべての元xがx²=xを満たす環)になる。これによって、完全不連結コンパクトHausdorff空間の圏はBool環の圏と反変同値になる(Stone双対性)。 完全不連結コンパクトHausdorff空間Xのclopen集合U∈Bool(X)の特性関数f_U(x)=if x∈U then 1 else 0の全体は、X上の複素数値連続関数全体のなすC*環C(X)をC*環として生成する。 完全不連結コンパクトHausdorff空間Xに対応する可換C*環全体は射影元達(p²=p=p*を満たす元p達)で生成される可換C*環全体に一致する。 完全不連結コンパクトHausdorff空間Xに対応するC*環C(X)のp²=p=p*を満たす元p達全体の集合に、積をC*(X)の積で和をp⊕q=p+q-2pqで定義すると、Bool(X)と自然に同型なBool環が得られる。 Bool環(すべての元xがx²=xを満たす環)でx⋀y=xy、x∨y=(x⊕y)+xy、¬x=1-xと定義することによってBool代数が得られ、これによってBool環とBool代数(束の一種)は一対一に対応する。 以上のようにして、以下は互いに一対一に対応している: * 完全不連結コンパクトHausdorff空間 * 有限次元可換C*環の帰納極限 * p²=p=p*を満たす元p達でC*環として生成される可換C*環 * Bool環(すべての元がx²=xを満たす環) * Bool代数 その対応で、極値不連結コンパクトHausdorff空間(=コンパクトHausdorff空間における射影的対象)は、完備Bool代数、BaerなBool環 (任意の部分集合の零化イデアルが単項イデアルになるようなBool環)、Baerな可換C*環(任意の部分集合の零化イデアルがp²=p=p*を満たすあるpで生成される単項イデアルになるような可換C*環)に対応している。 全体のここで、可換環Aの部分集合Sについて、その零化イデアルはAnn(S)={a∈A|as=0 (s∈S)}と定義される。 Gelfand-Naimark双対性は、局所コンパクトHausdorff空間Xに拡張される。ただし、Xには無限遠で0になるX上の複素数値連続関数全体のなす1を持つとは限らない可換C*環C₀(X)を対応させる。 一点コンパクト化は、C₀(X)に1を付け加える操作に対応している。すなわち、局所コンパクトHausdorff空間X上の無限遠で定数に収束する複素数値連続関数全体のなす可換C*環に対応するコンパクトHausdorff空間はXの一点コンパクト化X*になる。つまり、C(X*)の元とX上の無限遠で定数に収束する複素数値連続関数は一対一に対応する。 局所コンパクトHausdorff空間X (より一般に完全正則空間X)について、X上の有界連続関数全体になす可換C*環C_b(X)に対応するコンパクトHausdorff空間はXのStone-Čechコンパクト化βXになる。つまり、C(βX)=C_b(X). 完全不連結局所コンパクトHausdorff空間Xについて、そのclopen集合全体のなすBool環Bool(X)に対応する完全不連結コンパクト空間はXのStone-Čechコンパクト化βXになっている: βX=Spec(Bool(X)) (環論でのSpec、Bool環のSpecは極大イデアルだけで構成される). Bool環では極大イデアル全体を考えるが、Bool代数では極大フィルター全体を考える。しかし、本質的に同じことである。